Üstel Büyüme: Sezemediğimiz Bir Artış

Üstel büyüme, hayatımızın birçok alanında karşımıza çıkan, ancak çoğu zaman sezgisel olarak anlamakta zorlandığımız bir konsepttir. Bu yazımızda, konuyu örnekleriyle ve detaylarıyla beraber inceleyeceğiz.

Üstel Büyüme Nedir?

Üstel büyüme (İngilizce: Exponential growth), bir miktarın, geçen süre birimine göre orantılı olarak artmasıdır. Genellikle sürekli bileşik faizle büyüyen yatırımlar, popülasyon artışı, radyoaktif madde bozunması ve belirli doğal süreçler bu tür bir büyüme modelini takip eder.

İnsan zihni genellikle doğrusal düşünme eğilimindedir, bu da belirli bir süre boyunca sabit bir hızda değişikliklere kolayca adapte olabileceği anlamına gelir. Ancak üstel büyüme, zamanla artan bir hızda değişiklik gerektirir, bu nedenle bu tür büyümeyi tahmin etmek genellikle zordur.

Durumu somutlaştırmak adına, aşağıdaki durumlardan hangisini seçersiniz diye bir soru sorulsa cevabınız ne yönde olurdu?

• A) Bugünden itibaren kırk gün boyunca size her gün 100.000 TL verilmesini mi,
• B) Bugünden itibaren kırk gün boyunca size ilk gün 100 TL, ikinci gün 200 TL, üçüncü gün 400 TL, dördüncü gün 800 TL olan bir artışla olacak şekilde para verilmesini mi?

A cevabı kulağa oldukça garantici ve cazip bir seçenek gibi gelse de, daha fazla kazanmak istiyorsanız B seçeneğini tercih etmeniz gerekmektedır. Zira, A şıkkı size 40 gün sonra 40*100.000 = 4.000.000 TL kazandıracaktır. Buna karşılık B şıkkı ise 40 gün sonra 100*2⁰ +100*2¹ + 100*2² +…+ 100*2³⁹ = 1.099.511.627.776 TL kazandıracaktır.

A şıkkında görülen doğrusal artışı sezgisel bir şekilde anlayabiliyoruz. Ancak B şıkkındaki gibi üstel büyüme olan bir çözümü anlayabilecek sezgilerimiz bulunmamaktadır. Bundan dolayı, “Covid 19 Hasta sayısı her ay %14 artıyor.” gibi haberleri matematiği kullanmadan anlayamıyoruz.

Bu nedenle böylesi durumlarda karşılaşırsanız faiz hesaplarında kullanılan 72 kuralını kullanabilirsiniz. Hatta daha pratik bir kullanım için 72 yerine 70 sayısından faydalanabilirsiniz. Hesaplamayı yapabilmek adına 70 değerini artışın yüzde değerine bölelim: Covid 19 için bu oran (70/14) = 5 ay olacaktır. Haber aslında; “Covid 19 hasta sayısı her 5 ayda ikiye katlanıyor.” şeklindedir ve bu oldukça vahimdir.

Benzer şekilde “Kur oranı aylık % 5 olumsuz bir değişimde” gibi haberlere denk geldiğinizde bunu “Çok da kötü değil, %5 nedir ki?” şeklinde düşünebilirsiniz. Ancak böylesi durumlarda işin içine matematiğimizi katıp ikiye katlanma zamanını hesaplayalım; (70/5) = 14 sonucuna ulaştık. Yani 14 ay sonra paranın değeri sadece yarı değerinde olacak. Oldukça vahim bir tablo.

Bu yüzden iyi bir gazeteci olmak istiyorsanız bu hesaplamaları yapıp ona göre bir başlık atmanız daha çarpıcı bir etki bırakacaktır. Gazetecisi olduğunuzu varsayalım ve elinize şehrinizdeki sokak köpeklerinin sayısının her yıl %35 artmakta olduğuna dair bir veri geldi. Nasıl bir manşet atmayı düşünürdünüz?

“Sokak kedilerinin sayısı % 35 arttı” şeklinde bir başlık pek ilgi çekici olmayacaktır. Kimsenin ilgisini çekmediği gibi pek çok kişinin anlamlandıramadığı bir şey olurdu bu ifade. Her zamanki hesabımızı yapalım; (70/35) = 2 yıl. Hesaplamamızı yaptığımıza göre manşetimiz hazır: “İki yılda sokak köpeklerinin sayısı iki katına çıkacaktır!”

Büyüme Nereye Kadar Mümkün?

Bütün üstel artışlar günün birinde doyum noktasına gelir. Eğer biyoloji derslerini hatırlıyorsanız buna şaşırmayacaksınızdır. Ancak, çoğu politikacı, iktisatçı veya gazeteci bu gerçeği unutuyor ya da görmezden geliyorlar. Zira onların mantığına göre hareket edilse yirmi dakikada bir bölünerek çoğalan bağırsak bakterisi, birkaç gün içinde bütün dünyayı istila edecek sayıya ulaşması gerekirdi.

Ancak birazcık biyoloji bilgisiyle bilinebileceği üzere bakteriler, bakteriler ürediklerinden daha fazla oksijen ve şeker tüketeceğinden, nüfusunun artışı kısa sürede frenlenecek ve denge sınırına ulaşacaktır.

Gündelik yaşamda Martingale teorisi gibi bazı teorilerde üstel büyüme kuralları görülmektedir. Ancak kaynak yetersizliği nedeniyle ciddi kayıplara yol açabildiğinden bir cebinizde muhakkak matematik olsun. Hisleriniz yerine hesap makinenize güvenin. Zira, öyle bir hissimiz yok ve sahip olduğumuz his bizi doğrusal büyümeyi tercih etmeye yönlendirdiğinden ciddi kayıplar vermemize neden olacaktır.

İran kökenli bir masal da tam da bu konuya değinilmiştir. Bir zamanlar akıllı bir hizmetçi varmış, bir satranç tahtasını kralına armağan etmiş. Kral, “Karşılığında seni nasıl ödüllendirmemi istersin” diye sormuş. Tabi uyanık hizmetçi cevap olarak “Asil kralım satranç tahtasını buğday tanesiyle doldurmanızdan başka bir şey istemem. İlk kareye bir tane buğday tanesi koyun, sonra da diğer bütün karelere bir öncekinin iki katı kadar olacak şekilde buğday tanesi koyun.” der.

Kral galiba cüzi bir miktar tutacağını zannetmiş olmalı ve şaşırmış: “Bu kadar mütevazı bir arzunun olması senin ne kadar da şerefli bir insan olduğunu gösteriyor.” ve sormuş “Bu ne kadar buğday tanesi eder?”

T₆₄ = 1 + 2 + 4 + 8 + ….. = 2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ + …. + 2⁶³ = 2⁶⁴ – 2⁰ = 18,446,744,073,709,551,615 adet buğday tanesi.

18,446,744,073,709,551,615 * 30 gram*(kg/1000gram)*(Ton/1000kg) = 553,402,322,211,288 Ton buğday.

Üstel büyüme, zamanla önemli değişikliklerin meydana geldiği ve sürdürülebilirliğin sağlandığı bir fenomen olarak kabul edilir. Ancak, sonsuz kaynaklar olmadığı için, bir noktada büyüme hızı sınırlanabilir veya durağan bir düzeye ulaşabilir. Bu nedenle, üstel büyümenin sınırları ve sürdürülebilirliği önemli tartışma konularıdır.