Matematik

Rasyonel Sayılar

Kesir Kavramı

Kesir, bir bütünün parçalara bölünmüş halini temsil eder ve [math]\frac{a}{b}[/math]​ şeklinde ifade edilir, burada, a pay, b ise paydadır ve payda asla sıfır olamaz.

  • [math]\frac{a}{b}[/math]​
    • [math]a[/math]​ ➡️ pay
    • [math]b[/math]​ ➡️ payda
    • [math]​b \neq 0[/math]

Basit Kesir

Basit kesir, işaretine bakılmaksızın, mutlak değer olarak payın (üstteki sayının) paydadan (alttaki sayıdan) küçük olduğu kesirlerdir. Yani, bir kesrin basit kesir olabilmesi için, payının büyüklüğü paydasının büyüklüğünden az olmalıdır.

  • [math]\frac{a}{b}[/math]​ basit kesir olmak üzere:
    • [math]\left| a \right|\lt \left| b \right|[/math]​
    • [math]-1\lt \frac{a}{b}\lt 1[/math]
      • [math]\frac{1}{2}[/math]​
      • [math]\frac{2}{3}[/math]​
      • [math]\frac{7}{9}[/math]
      • ​[math]\frac{-1}{3}[/math]​

Bileşik Kesir

Bileşik kesir, işaretine bakılmaksızın, mutlak değer olarak paydanın (alttaki sayının), paydam (üstteki sayının) büyük olduğu kesirlerdir. Yani, bir kesrin bileşik kesir olabilmesi için, paydasının büyüklüğü payının büyüklüğünden fazla olmalıdır.

  • [math]\frac{a}{b}[/math]​ basit kesir olmak üzere:
    • [math]\left| a \right| \gt \left| b \right|[/math]
    • [math]\frac{a}{b}\gt 1[/math] ve [math]\frac{a}{b}\lt -1[/math]
      • [math]\frac{2}{1}[/math]​
      • [math]\frac{3}{2}[/math]​
      • [math]\frac{9}{7}[/math]
      • ​[math]\frac{-4}{3}[/math]​

Tam Sayılı Kesir

Tam sayılı kesir, bir tam sayı ile bir basit kesrin birleşiminden oluşan bir sayısal ifadedir. Bu tür kesirler, genellikle bir bütünün yanı sıra bütünden küçük bir parçayı da içeren durumları ifade etmek için kullanılır. Matematiksel olarak, sıfırdan farklı bir “a” tam sayısı ve “b”, “c” pozitif tam sayılar olmak üzere [math]a\frac{b}{c}[/math] formunda gösterilir. Bu form, “a tam b bölü c” olarak okunur. Örneğin:

  • [math]2\frac{1}{3}[/math] İki tam, bir bölü üç anlamına gelir.
  • [math]3\frac{4}{5}[/math] Üç tam, dört bölü beş anlamına gelir.
  • [math]-1\frac{3}{4}[/math] Eksi bir tam, üç bölü dört anlamına gelir.

Tam Sayılı Kesirlerin Bileşik Kesirlere Dönüşümü

Tam sayılı kesirler, karşılık gelen bileşik kesir formuna dönüştürülebilir. Bunu yapmak için tam sayı kısmı ile paydanın çarpımı paya eklenir ve sonuç, orijinal payda ile bir kesir oluşturur.

  • [math]a\frac{b}{c} = \frac{a * c + b}{c}[/math]
    • [math]2\frac{3}{5}[/math] tam sayılı kesrinin bileşik kesir formu ➡️ [math]\frac{2*5 + 3}{5} = \frac{13}{5}[/math]
    • [math]-3\frac{1}{4}[/math] tam sayılı kesrinin bileşik kesir formu ➡️ [math]-\frac{3*4 + 1}{4} = -\frac{13}{4}[/math]

Bileşik Kesirlerin Tam Sayılı Kesirlere Dönüşümü

Bileşik kesirler de tam sayılı kesir formuna dönüştürülebilir. Bunu yapmak için pay, payda ile bölünür; bölüm tam sayı kısmını, kalan ise kesirin payını oluşturur. Payda ise değişmez.

Bileşik bir kesirde, [math]a[/math] pay ve [math]b[/math] payda olmak üzere, bu iki sayının bölme işlemi sonucunda elde edilen bölüm [math]d[/math], kalan [math]c[/math] olsun:

  • [math]\frac{a}{b}[/math]
  • [math]a\gt b[/math]
  • [math]d\frac{c}{b}[/math]
    • [math]\frac{25}{7}[/math] bileşik kesrinin tam sayılı kesir formu ➡️ [math]\frac{25}{7} = 3\frac{4}{7}[/math]

Denk Kesir

Denk kesir, genişletme veya sadeleştirme işlemi sonucunda elde edilen, değeri birbirine eşit olan kesirlerdir. Bu tür kesirler, farklı pay ve payda değerlerine sahip olsalar bile, temsil ettikleri miktar aynıdır.

  • Örneğin, değeri [math]\frac{2}{5}[/math] olan bir kesir ele alalım. Bu kesir, aşağıdaki kesirlerle denktir:
    • [math]\frac{4}{10}, \frac{2}{5}[/math] kesrinin 2 ile genişletilmesiyle elde edilir.
    • [math]\frac{6}{15}, \frac{2}{5}[/math] kesrinin 3 ile genişletilmesiyle elde edilir.
    • [math]\frac{8}{20}, \frac{2}{5}[/math] kesrinin 4 ile genişletilmesiyle elde edilir.

Aynı zamanda, [math]\frac{2x}{5x}[/math] şeklinde ifade edilen kesir de [math]\frac{2}{5}[/math] ile denktir, burada [math]x[/math] sıfırdan farklı herhangi bir tam sayı olabilir. Çünkü bu kesir sadeleştirildiğinde yine [math]\frac{2}{5}[/math] formuna döner.

Rasyonel Sayılar

Rasyonel sayılar, [math]\frac{a}{b}[/math]​ şeklinde yazılabilen ve [math]a, b[/math] tam sayılar olmak üzere [math]​b \neq 0[/math] tüm sayıları kapsar. Bu tanıma göre, [math]​1,\frac{5}{8}, \frac{-2}{7}, 0, 43, \frac{1}{9}[/math]​​ gibi sayılar rasyonel sayılardır.

Tam sayılar da paydası 1 olan özel rasyonel sayılar olarak kabul edilir. Örneğimizde verdiğimiz tam sayıların paydasına 1 yazdığımız zaman rasyonel sayı oldukları görülecektir; [math]\frac{1}{1}, \frac{0}{1}, \frac{43}{1}[/math]

Ondalık sayılar, paydası 10’un kuvvetleri olan kesirler olarak düşünülebilir. Örneğin, [math]0.43[/math] sayısı [math]\frac{43}{100}[/math] şeklinde kesirli olarak ifade edilebilir. Bu, ondalık sayıların da rasyonel sayıların bir alt kümesi olduğunu gösterir.

Devirli ondalık sayılar, kesir formuna dönüştürülebildikleri için rasyonel sayılardır. Örneğin, [math]0.\overline{5}[/math] sayısı [math]\frac{5}{9}[/math]​ olarak yazılabilir. Haliyle, devirli ondalık sayılar da, rasyonel sayı olarak değerlendirilir.

Ondalık Sayılar

Paydası 10’un pozitif tam kuvvetleri olan kesirler, ondalık sayı şeklinde yazılabilir. Bu, ondalık sayıların kesir formundan daha kolay okunabilir ve anlaşılır hale getirilmesine olanak tanır.

  • [math]\frac{abc}{100} = 0,abc[/math]: Bu ifade, abc sayısının 100’e bölünmesi sonucunu gösterir, yani virgülden sonra iki basamaklı bir ondalık sayı elde edilir.
  • [math]\frac{3754}{1000} = 3,754[/math]: Burada, 3754 sayısının 1000’e bölünmesiyle elde edilen sonuç, 3 tam ve 754 ondalıklı kısmı ile birlikte 3,754 olarak gösterilir.
  • [math]\frac{2}{10} = 0,2[/math]: 2’nin 10’a bölünmesi sonucu elde edilen 0,2 değeri, virgülden sonra bir basamaklı bir ondalık sayıdır.
  • [math]\frac{17}{10000} = 0,0017[/math]: 17’nin 10000’e bölünmesi sonucunda, virgülden sonra dört basamaklı 0,0017 değeri elde edilir.
  • [math]\frac{4}{100} = 0,04[/math]: 4’ün 100’e bölünmesiyle, virgülden sonra iki basamaklı 0,04 değeri ortaya çıkar.
  • [math]\frac{235}{10} = 23,5[/math]: 235’in 10’a bölünmesi sonucu, virgülden sonra bir basamaklı 23,5 değeri elde edilir.
  • [math]\frac{39}{10} = 3,9[/math]: 39’un 10’a bölünmesiyle, virgülden sonra bir basamaklı 3,9 değeri ortaya çıkar.
  • [math]\frac{70}{100} = 0,70[/math]: 70’in 100’e bölünmesi sonucu elde edilen 0,70 değeri, virgülden sonra iki basamaklı bir ondalık sayıdır. Bu sayı 0,7 şeklinde sayılabilir.

❗ Virgülden sonra sayının sonuna dilediğiniz kadar 0 yazılabilir. Yani 0,7 ile 0,70000 aynı sayıdır.

❗ Paydası 10, 100, 1000 olmayan kesirlerin, paydasının 10 un katları olması için genişletilmesi gerekir. Örneğin payda 5 ise 2 ile, 25 ise 4 ile, 225 ise 8 ile genişletilir.

Devirli Ondalık Sayılar

Devirli (periyodik) ondalık sayıları kesire dönüştürmek için sistematik bir yöntem kullanılır. Bu yöntem, devirli kısmı izole ederek ve cebirsel manipülasyonlar yaparak çalışır.

Örnek olarak [math]0.\overline{3}[/math] sayısını adım adım kesirli haline dönüştürelim.

Bu yöntem, her türlü devirli ondalık sayı için uygulanabilir. Eğer devirli kısım birden fazla rakam içeriyorsa, ona uygun olarak eşitliği 100, 1000 gibi bir sayı ile çarpmak gerekebilir. Örneğin, [math]0.\overline{12}[/math] için [math]100x – x[math] işlemi yapılır, çünkü devirli kısım iki basamaklıdır.

Bir başka örnek olarak [math]0.1\overline{6}[/math] sayısını kesire dönüştürelim.

Bu işlemleri pekala pratik bir formül kullanarak da yapabiliriz. Devirli ondalık sayıları kesire dönüştürme işleminde, sayının ondalık kısmındaki tekrar eden ve tekrar etmeyen rakamlar önemli bir rol oynar.

  • [math]0.16\overline{8}[/math] sayısı ele alalım:
    • Devretmeyen Kısım: Virgülden sonraki, tekrar etmeyen (yani devretmeyen) basamaklar. [math]0.16\overline{8}[/math] ondalık sayısında “1” ve “6” devretmeyen kısımdır.
    • Devreden Kısım: Virgülden sonra tekrar eden (yani devreden) basamaklar. [math]0.16\overline{8}[/math] sayısında “8” devreden kısımdır.
  • Devirli bir ondalık sayıyı kesire dönüştürmek için sayının tamamından, devretmeyen kısmı çıkarın. Devreden rakam sayısı kadar “9” ve devretmeyen rakam sayısı kadar “0” kullanarak bir payda oluşturun.
    • [math]\frac{\text{Sayının Tamamı – Devretmeyen Kısım}}{\text{Devreden rakam sayısı kadar 9, devretmeyen rakam sayısı kadar 0}}[/math]
      • [math]2.\overline{3} = \frac{23 – 2}{9}[/math] ➡️ [math]\frac{21}{9}[/math]
      • [math]2.2\overline{4} = \frac{224 – 22}{90}[/math] ➡️ [math]\frac{202}{90}[/math]
      • [math]0.\overline{36} = \frac{36 – 0}{99}[/math] ➡️ [math]\frac{36}{99}[/math]
  • Devreden kısım sadece 9 rakamından oluşuyor ise yok edilir, bir önceki rakam 1 artırılır.
    • [math]3.4\overline{9}[/math] = ➡️ [math]3.5[/math]
    • [math]0.0\overline{9}[/math] = ➡️ [math]0.1[/math]
    • [math]2.43\overline{9}[/math] = ➡️ [math]2.44[/math]

Rasyonel Sayılarda Sıralama

Rasyonel sayıları sıralamak, özellikle de kesirleri doğru bir şekilde sıralamak için bazı temel kurallar ve stratejiler vardır. Pozitif basit kesirler söz konusu olduğunda, bu kurallar sıralama işlemini kolaylaştırır:

  1. Paylar Eşit Olduğunda: Eğer iki kesrin payları (üst kısmı) eşitse, paydası (alt kısmı) daha küçük olan kesir daha büyüktür. Çünkü bir bütün, daha az parçaya bölündüğünde her parça daha büyük olur.
  2. Paydalar Eşit Olduğunda: İki kesirin paydaları eşit olduğunda, payı daha büyük olan kesir daha büyüktür. Aynı büyüklükteki parçalardan daha fazlasına sahip olmak, daha büyük bir bütün anlamına gelir.
  3. Pay ve Payda Arasındaki Fark Eşit Olduğunda: Kesirlerin payları ile paydaları arasındaki fark eşitse payı ve paydası büyük olan kesir en büyüktür. Örnek olarak [math]\frac{1}{2}[/math] ile [math]\frac{2}{3}[/math] kesirlerini aklında tutabilirsin.
  4. Pozitif Bileşik Kesirler: Eğer verilen bir kesir bileşik kesirse (yani bir tam sayı ve bir basit kesirin birleşimiyse), öncelikle bu kesir tam sayılı kesre dönüştürülür. Daha sonra, basit kesir kısmı kullanılarak sıralama yapılır.
  5. Negatif Kesirler: Eğer kesirler negatifse, önce kesirlerin pozitif halleri alınarak sıralama yapılır. Sonrasında, sıralamanın yönü tersine çevrilir.
  6. Sayı doğrusu üzerinde, 0 ile 1 arasında bulunan pozitif basit kesirlerin sıralanmasıyla ilgili olarak, kesirlerin “0”a veya “1”e olan yakınlıkları, onların büyüklüklerini belirler. Bu durumda:
    • “0”a en yakın olan kesir en küçük olanıdır.
    • “1”e en yakın olan kesir en büyük olanıdır.

Bir yanıt yazın

E-posta adresiniz yayınlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu