Matematik

Rakam ve Sayı

Rakam ve sayı, matematik dünyasının temel yapı taşlarıdır; rakamlar, sayıları oluşturmak için kullanılan sembollerdir, sayılar ise bu rakamların kombinasyonlarıyla ifade edilen miktarları veya sıralamaları temsil eder.

Rakam

10’luk sayma sistemi, günlük hayatta en yaygın kullanılan sayma sistemidir. Bu sistemde; 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 olmak üzere toplam 10 adet rakam bulunur. Bu rakamlar, farklı kombinasyonlar halinde yan yana getirilerek çeşitli sayılar oluşturulur. Örneğin, “13” sayısı 1 ve 3 rakamlarının yan yana getirilmesiyle oluşur ve ondalık sistemde “on üç” anlamına gelir.Her bir sayı kümesi, belirli matematiksel işlemler ve kavramlar için uygun bir çerçeve sunar.

❗ Her rakam bir sayıdır, fakat her sayı bir rakam değildir.

Sayı

Sayılar, belirli özellikleri paylaşan gruplar halinde sınıflandırılır. Bu gruplara sayı kümeleri denir. En temel sayı kümeleri şunlardır:

  • Tam Sayılar Kümesi (Z): Pozitif tam sayılar, sıfır (0) ve negatif tam sayıları içerir. Matematiksel gösterimi Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} şeklindedir. Bu küme, sayı doğrusunda hem sol hem de sağ yönde sonsuza kadar genişler. “Z” simgesi, “tam sayılar” kümesini temsil eder ve Almanca “Zahlen” kelimesinden gelmektedir.
  • Pozitif Tam Sayılar Kümesi (Z+): Sadece pozitif tam sayıları içerir. Matematiksel gösterimi Z+ = {1, 2, 3, ...} şeklindedir. Bu küme, sayma sayıları kümesi ile aynıdır.
  • Negatif Tam Sayılar Kümesi (Z): Sadece negatif tam sayıları içerir. Matematiksel gösterimi Z− = {..., -4, -3, -2, -1} şeklindedir. Bu kümede en büyük negatif tam sayı “-1″dir ve sıfır (0) bu kümede yer almaz, çünkü sıfır işaretsiz bir tam sayıdır.
  • Doğal Sayılar Kümesi (N): Sıfır (0) dahil olmak üzere pozitif tam sayıların tümünü içerir. Matematiksel gösterimi N = {0, 1, 2, 3, ...} şeklindedir. “N” simgesi, “doğal sayılar” kümesini temsil eder ve Latince “Naturales” kelimesinden gelir.
  • Sayma Sayıları Kümesi (N+): Sadece pozitif tam sayıları içerir. Haliyle saymaya 1’den başlar ve en küçük elemanı 1’dir. Matematiksel gösterimi N+ = {1, 2, 3, 4, ...} şeklindedir.

❗ Sıfır, ne negatif ne de pozitif olarak nitelendirilir, dolayısıyla nötr bir sayıdır.

Her bir sayı kümesi, belirli matematiksel işlemler ve kavramlar için uygun bir çerçeve sunar. Bu kümelerle ilgili sorularla karşılaştığınızda, sorunun bağlamına göre hangi sayıların ele alınması gerektiğini anlamak önemlidir. Örneğin, bir problemde “en büyük rakam” derse bunun “9” olduğunu anlamalısınız.

En Büyük – En Küçük Değerler

Toplamları belli olan iki pozitif tam sayının çarpımının “en büyük” olması için, sayılar birbirlerine “en yakın” değerlerde olmalıdır; çarpımının “en küçük” olması için ise, sayılar birbirlerine “en uzak” değerlerde olmalıdır.

a + b = x
(a * b) en fazla kaç olur sorulursa, a ile b birbirlerine yakın seçilir.
(a * b) en az kaç olur sorulursa, a ile b birbirlerine uzak seçilir.

Örnek 1:

a ve b farklı pozitif tam sayılar olmak üzere,
a + b = 18
olduğuna göre, a·b çarpımının en büyük değeri kaçtır?

Çözüm 1:

  • a ve b birbirlerinden farklı pozitif tam sayılar
  • en büyük (a.b) değeri için a ile b birbirlerine yakın seçilir.
  • a = 8, b = 10 ya da a = 10, b = 8 olur.
  • a * b ➡️ 8 * 10 = 80.

Cevap, 80 olacaktır.


Örnek 2:

A = 402 * 98
B = 250 * 250
C = 399 * 101

A, B ve C’yi büyükten küçüğe sıralayınız.

Çözüm 2:

Yukarıdaki sayıları topladığınızda, hepsinin 500’e eşit olduğunu göreceksiniz. Bu durumda, hangisinin en büyük olanı bulmak için çarpanlardan birbirlerine yakın olanlara bakarız.

Cevap, B > C > A olacaktır.

Çarpımları belli olan iki pozitif tam sayının toplamının “en büyük” olması için sayılar birbirlerinden olabildiğince uzak değerlerde olmalıdır; toplamlarının “en küçük” olması için ise sayılar birbirlerine mümkün olduğunca “yakın” değerlerde olmalıdır.

a * b = x
(a + b) en fazla kaç olur sorulursa, a ile b birbirlerine uzak seçilir.
(a + b) en az kaç olur sorulursa, a ile b birbirlerine yakın seçilir.

Örnek:

Çarpımları 36 olan iki farklı pozitif tam sayının toplamının en küçük değeri kaçtır?

Çözüm:

  • a ve b birbirlerinden farklı pozitif tam sayılar
  • en küçük (a + b) değeri için a ile b birbirlerine uzak seçilir.
  • a = 9, b = 4 ya da a = 4, b = 9 olur.
  • a + b ➡️ 9 + 4 = 13

Cevap, 13 olacaktır.

❗ Bu tarz sorularda a ve b ifadeleri çeşitli katsayılara sahip olabilir; örneğin, “2a + 3b = 24” ya da “3a + 4b = 32” gibi denklemlerle karşılaşabiliriz. Bu durumda, denklemleri çözerken, katsayıları içeren ifadeleri yeni değişkenlerle değiştirmek işlemi kolaylaştırabilir. Yani, 2a yerine k, 3b yerine l gibi yeni değişkenler tanımlayıp, bu yeni değişkenler üzerinden eşitliği yeniden düzenleyebiliriz. Bu yöntem, özellikle birden fazla denklemin olduğu durumlarda, denklemleri daha basit ve yönetilebilir hale getirir ve çözüm sürecini hızlandırır.

Örnek:

a ve b doğal sayılar olmak üzere,
2a + 3b = 72
olduğuna göre, a.b çarpımının en büyük değeri kaçtır?

Çözüm:

  • a ve b doğal sayılar.
  • 2a = x, 3b = y değerlerini veririz.
  • x + y = 72
  • en büyük (x.y) değeri için x ile y birbirlerine yakın seçilir.
  • x = 36, y = 36
  • 2a = x ve x = 36 olduğu için a’nın değeri 18, 3b = y ve y = 36 olduğundan b’nin değeri 12 olur.
  • a * b ➡️ 18 * 12 = 216

Cevap, 216 olacaktır.

Bir yanıt yazın

E-posta adresiniz yayınlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu