Matematik

OBEB (EBOB) ve OKEK (EKOK)

OBEB (Ortak Bölenlerin En Büyüğü) ve OKEK (En Küçük Ortak Kat), matematikte iki veya daha fazla sayının ortak bölme ve katlama özelliklerini inceleyen önemli kavramlardır.

Konu Başlıkları

OBEB (EBOB)

OBEB (Ortak Bölenlerin En Büyüğü) veya EBOB (En Büyük Ortak Bölen), iki veya daha fazla pozitif tam sayının tam olarak bölünebildiği en büyük pozitif tam sayıdır. Sayıların OBEB’ini bulmak için iki ana yöntem vardır.

  1. Yol: Ortak Asal Çarpanlara Ayırma

Bu yöntemde, sayılar önce asal çarpanlarına ayrılır. Sonra, her iki sayıyı da kalansız bölebilen asal sayılar yani ortak asal bölenler belirlenir. Belirlenen ortak asal bölenlerin çarpımı, sayıların OBEB’ini verir.

Örneğin, 180 ve 200 sayılarının OBEB’ini bulalım:

Her iki sayıyı da bölen ortak asal çarpanlar 22 ve 5’tir. Bu çarpanların çarpımı 22 * 5 = 20 olup, OBEB(180, 200) = 20 olur.

  1. Yol: Ayrı Ayrı Asal Çarpanlara Ayırma

Bu yöntemde, her sayı ayrı ayrı asal çarpanlarına ayrılır. Sonra, her iki sayının asal çarpanları karşılaştırılır ve ortak olan asal çarpanlardan, üssü en düşük olanlar seçilir. Seçilen bu ortak asal çarpanların çarpımı, sayıların OBEB’ini verir.

Örneğin, 120, 72 ve 360 sayılarının OBEB’ini bulalım:

Ortak olan asal çarpanlardan üssü aynı veya en küçük olanlar çarpıldığında, OBEB(120, 72, 360) = 23 * 31 = 24 bulunur.

❗ Aralarında asal olan iki sayının OBEB’i 1’dir.

OBEB (Ortak Bölenlerin En Büyüğü) kavramıyla ilgili bazı önemli noktalar bulunmaktadır:

  1. Sayılar OBEB’in Katıdır: Eğer A ve B sayıları varsa ve bu sayılar için k1 ve k2, “aralarında asal sayılar” olarak belirlenmişse, A sayısı OBEB’in k1 katı, B sayısı ise OBEB’in k2 katıdır.
  2. Aralarında Asal Sayılar ve OBEB: Eğer iki veya daha fazla sayıdan “en az ikisi aralarında asal” ise, bu sayıların OBEB’i 1’dir. Aralarında asal olmak, iki sayının ortak hiçbir asal çarpana sahip olmaması anlamına gelir. Bu durumda, tek ortak bölen 1 olduğu için OBEB 1 olur.
  3. Ortak Pozitif Tam Sayı Bölenlerinin Sayısı: İki veya daha fazla sayının ortak pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı, bu sayıların OBEB’inin pozitif bölenleri sayısı kadardır.
Örnek:

İki basamaklı iki doğal sayının OBEB’i 9 dur. Bu sayıların toplamı en az kaç olur?

Çözüm:

  • İki sayı aralarında asal olmalıdır.
  • Birbirine asal en küçük iki sayı 2 ile 3 olacaktır.
  • Bu iki sayı da çift basamaklı.
  • OBEB’in 2 ile 3 katı bu sayıları verecektir.
  • 9 * 2 = 18, 9 * 3 = 27 olacaktır.
  • 18 + 27 = 45

Cevap, 45 olacaktır.

❗ Uzunluk veya çevre ile ilgili problemler genellikle verilen uzunlukların OBEB’i bulunarak çözülür.

❗ Ağırlıkla ilgili problemler genellikle verilen ağırlıkların OBEB’i bulunarak çözülür.

OKEK (EKOK)

OKEK (Ortak Katların En Küçüğü) veya EKOK (En Küçük Ortak Kat), iki veya daha fazla pozitif tam sayının ortak katları içinde en küçük olanıdır. Sayıların OKEK’ini bulmak için iki temel yöntem kullanılır:

  1. Yol: Asal Çarpanlara Ayırma ve Tüm Asal Sayıları Çarpma

Bu yöntemde, verilen sayılar birlikte asal çarpanlarına ayrılır ve bu sayıları bölen tüm asal sayılar bir araya getirilip çarpılarak OKEK bulunur.

Örnek olarak, 72 ve 96 sayılarının OKEK’ini bulalım:

  • 72’nin asal çarpanları: 23 ve 32
  • 96’nın asal çarpanları: 25 ve 31
  • OKEK’i bulmak için, her asal sayıdan en yüksek üssü alırız: 25 ve 32
  • OKEK(72, 96) = 25 * 32 = 32 * 9 = 288 bulunur.
  1. Yol: Ayrı Ayrı Asal Çarpanlara Ayırma ve Ortak/Ortak Olmayan Asal Çarpanları Çarpma

Bu yöntemde, sayılar ayrı ayrı asal çarpanlarına ayrılır. Sonra, sayıların ortak asal çarpanlarının en büyük üsleri ile ortak olmayan asal çarpanlar çarpılarak OKEK bulunur.

Örnek olarak, 120, 180 ve 200 sayılarının OKEK’ini bulalım:

  • 120’nin asal çarpanları: 23, 31 ve 51
  • 180’nin asal çarpanları: 22, 32 ve 51
  • 200’nin asal çarpanları: 23 ve 52
  • Ortak asal çarpanların en büyük üsleri ve ortak olmayan asal çarpanlar: 23, 32 ve 52
  • OKEK(120, 180, 200) = 23 * 32 * 52 = 8 * 9 * 25 = 1800 bulunur.

OKEK (Ortak Katların En Küçüğü) kavramıyla ilgili bazı önemli noktalar bulunmaktadır:

  1. OKEK, Sayıların Katıdır: A ve B sayıları için, x (A sayısının asal çarpanı) ve y (B sayısının asal çarpanı) aralarında asal olmak üzere:
    • [math]A = \frac{OKEK}{x}[/math]
    • [math]B = \frac{OKEK}{y}[/math]
  2. OKEK ve OBEB İlişkisi: A ve B gibi iki sayının çarpımı, OKEK ve OBEB’in çarpımına eşittir.
    • OKEK(A, B) * OBEB(A, B) = A * B
  3. Aralarında Asal Sayıların OKEK’i: Eğer A ve B sayıları “aralarında asal” ise, bunların OKEK’i doğrudan kendi çarpımlarıdır.
    • OKEK(A, B) = A * B
  4. OKEK’in Hesaplanması: A ve B “pozitif tam sayılar” ile x ve y “aralarında asal çarpanlar” olmak üzere:
    • OKEK(A, B) = x * y * OBEB(A, B)dir.
  5. Ardışık Sayılar: Ardışık sayılar aralarında asal olan sayılardır. Dolayısıyla:
    • OKEK(A, B) = A * B
  6. Pozitif Rasyonel Sayılar: Pozitif rasyonel sayıların OKEK’i aşağıdaki gibi bulunabilir:
    • [math]OKEK \left( \frac{a}{b},\frac{c}{d} \right) = \frac{OKEK\left( a, c\right)}{OBEB(b,d)}[/math]

❗ Zamanla ilgili problemler OKEK ile çözülür.

Bir yanıt yazın

E-posta adresiniz yayınlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu