Matematik

Mutlak Değer

Mutlak değer, bir sayının sıfır noktasına olan uzaklığını pozitif bir sayı olarak ifade eden matematiksel bir kavramdır, işaretinden bağımsız olarak bu mesafeyi gösterir.

Mutlak Değer Nedir?

Mutlak değer, bir gerçek (gerçel, reel) sayının başlangıç noktası olarak kabul edilen sıfıra olan mesafesini belirtir. Bu uzaklık, x gibi bir gerçek sayısı için |x| şeklinde ifade edilir. Bu kavram, sayının sıfır noktasına göre konumunu nicel bir ifadeyle sunar ve matematikteki birçok analizde temel bir rol oynar.

Haliyle mutlak değer, matematiksel bir ifadeyle sayının konumunu sayı doğrusu üzerinde sıfırdan itibaren ölçmek anlamına gelir. Bu ölçüm, sayının değerinin işaretinden bağımsız olarak onun gerçek büyüklüğünü yansıtır. Dolayısıyla, ∣4∣ değeri 4 birim, ∣−4∣ değeri ise yine 4 birim olarak hesaplanır; burada önemli olan, sayının sıfırdan olan uzaklığının mutlak bir değer olarak ifade edilmesidir. Aşağıdaki sayı doğrusunda bu durum net bir şekilde gösterilmiştir:

Mutlak değer, [math]\text{x}\in \text{R}[/math] olmak üzere aşağıdaki gibi tanımlanır:

  • [math]\left| \text{x} \right| = \text{x}, \text{x}\geqslant 0[/math]
  • [math]\left| \text{x} \right| = \text{-x}, \text{x}\lt 0[/math]

Soru çözümlerinde bilinmeyen ifadelerin mutlak değer içine nasıl girmişler onun için bakarız. Malumunuz, mutlak değer içinden her şey pozitif olarak çıkar. Ama sorularda bize bu ifadelerin mutlak değer içine nasıl girildiği sorulmaktadır. Bakınız:

  • Mutlak değerin içerisindeki ifade dışarıya pozitif olarak çıkar.
    • a > 0 için ➡️ |a| = a
    • a < 0 için ➡️ |-a| = a
  • Mutlak değer içindeki ifade eğer 0’dan küçükse mutlak değerin içine “nasıl girdiği-1 ile çarpılarak anlaşılır. Burada amaç, ilgili değerlerin mutlak değer dışına nasıl çıktıkları değil, nasıl girdikleridir. Yoksa zaten bu sayılar mutlak değer dışına her zaman pozitif olarak çıkar.
    • a < 0 için, |3a| ➡️ (-1)*(3a) = -3a
    • a < 2 için, |a-3| ➡️ (-1)*(a-3) = -a + 3
  • Mutlak değer içindeki ifade eğer 0’dan büyükse mutlak değerin içine bulunduğu hal ile girer.
    • a > 0 için, |3a| ➡️ = 3a
    • a > 2 için, |a-1| ➡️ = a – 1
  • ❗ Mutlak değer içine nasıl girdiğini bulmak için değer verebilirsiniz. Eğer verdiğiniz değer sonucu pozitif bir sonuç çıkıyorsa hiçbir değişiklik yapmadan ilgili denklem için olduğu gibi girmiştir deriz. Eğer negatif bir sonuç çıkıyorsa ilgili denklemi -1 ile çarpıp işaretini değiştiririz.

Mutlak Değerin Özellikleri

İşlemlerimizi yaparken mutlak değerin ne gibi özelliklere sahip olduğunu bilmemiz gerekir.

[math]\text{x, y}\in \text{R}[/math] olmak üzere:

  • Bir gerçek sayının mutlak değeri en küçük 0 olur.
    • [math]\left| \text{x} \right| \ge 0[/math]
  • Çarpım durumundaki iki gerçek sayının mutlak değeri aynı zamanda bu sayıların ayrı ayrı mutlak değerlerinin çarpımına eşittir.
    • |x*y| = |x| * |y|
  • Payda 0 olmamak üzere, bölüm durumundaki iki gerçek sayının mutlak değeri aynı zamanda bu sayıların mutlak değerlerinin bölümüne eşittir. y ≠ 0 olmak üzere:
    • [math]\left| \frac{\text{x}}{\text{y}} \right| = \frac{\left| \text{x} \right|}{\left| \text{y} \right|}[/math]
  • Biri diğerinin -1 katı olan iki gerçek sayının mutlak değeri birbirine eşittir.
    • [math]\left| \text{x} \right| = \left| \text{-x} \right|[/math]
  • Bir gerçek sayının pozitif tam sayı kuvvetinin mutlak değeri, mutlak değerinin yine aynı kuvvetine eşittir.
    • [math]\text{n}\in \text{Z}[/math] olmak üzere [math]\left| \text{x}^{\text{n}} \right| = \left| \text{x} \right|^{\text{n}}[/math]
  • İki gerçek sayının toplamının mutlak değeri sayıların ayrı ayrı mutlak değerlerinin toplamından küçük veya en fazla eşit olabilir.
    • [math]\left| \text{x+y}\right| \le \left| \text{x} \right| + \left| \text{y} \right|[/math]

Mutlak Değerli Denklemler

Mutlak değerli denklemler, içerisinde bir veya birden fazla mutlak değer ifadesi barındıran matematiksel ifadelerdir.

[math]\text{x, y, a}\in \text{R}[/math] olmak üzere:

a > 0 için |x| = a eşitliğinde denklemin kökleri x = a veya x = −a olur.

Örnek Soru:
|x + 4| = 6 denkleminin çözüm kümesini ve kökler toplamını bulun?

Çözüm:
x1 + 4 = 6 eşitliğinden x1 = 2 bulunur.
x2 + 4 = −6 eşitliğinden x2 = −10 bulunur.
x1 + x2 = 2 + (-10) = -8

Cevap:
Ç = {2, −10}
x1 + x2 = -8

|x| = 0 ise, x = 0 olur.

Örnek Soru:
|2x – 8| + 5 = 5 denkleminin çözüm kümesini bulun.

Çözüm:
2x – 8 = 0
x = 4

Cevap:
Ç = {4}

a < 0 için |x| = a eşitliğinde denklemin çözüm kümesi boş küme olur.

Örnek Soru:
|3x + 14| = -16 denkleminin çözüm kümesini bulun.

Çözüm:
Mutlak değerli bir ifade negatif bir sayıya eşit olamaz. Bu yüzden, denklemin çözüm kümesi boş kümedir.

Cevap:
Ç = ∅

|x| = |y| ise, x = y veya x = −y eşitlikleri yapılır. Bu tür denklemleri iki tarafın karesini alarak da çözebiliriz.

Örnek Soru:
|x + 1| = |2x − 16| denkleminin çözüm kümesini bulun.

x + 1 = 2x − 16 ➡️ x = 17
x + 1 = −2x + 16 ➡️ x = 5

Cevap:
Ç = {5, 17}

|x| = y ise, x = y ve x = −y yapılarak denklem çözülür. Ancak, eşitlik sonucu bulunan kökler y değeri için yazılmalıdır. Eğer negatif bir y değeri çıkarsa çözüm kümesine dahil edilmez. Zira mutlak değer asla negatif bir değerde çıkamaz.

Örnek Soru:
|x − 9| = 2x − 3 denkleminin çözüm kümesini bulun.

x − 9 = 2x − 3 ➡️ x = −6
x − 9 = −2x + 3 ➡️ x = 4

Her iki x değerini 2x − 3 denklemine yazalım:
x= -6 için ➡️ 2*(-6) – 3 = -15, çözüm kümesine dahil edilmez.
x = 4 için ➡️ 2*4 – 3 = 5, çözüm kümesine dahil edilir.

Cevap:
Ç = {4}

|x| + |y| = 0 ise, x = 0 ve y = 0 olur.

Örnek Soru:
|2x − 10| + |3y + 9| = 0 ise x*y sonucunu bulun.

|2x − 10| + |3y + 9| = 0
2x − 10 = 0 ➡️ x = 5 bulunur.
3y + 9 = 0 ➡️ y = −3 bulunur.
x*y = 5*(-3) = -15

Cevap:
-15

Mutlak değerin içini sıfır yapan x değerine mutlak değerin kritik noktası denir. Ayrıca, İçinde bir tane mutlak değer bulunan denklemin kökler toplamı kritik noktanın iki katına eşittir.

Örnek Soru:
|x + 4| = 6 denkleminin kritik noktasını ve kökler toplamını bulun?

Çözüm:
x + 4 = 0, x = -4
Kritik nokta = -4
Kökler toplamı = 2 * (-4) = -8

Cevap:
Kritik nokta: -4
Kökler toplamı: -8

Birden fazla mutlak değerli denklemler barındıran ifadelerde eğer bu ifadelerin kritik noktaları eşitse aynı uzunluklara sahiptir. Böyle durumlarda bu denklemleri tek bir hale sokabiliriz.

Örnek Soru:
|x – 2| + |2x – 4| = 15 denkleminin köklerinin toplamı kaçtır?

Çözüm:
x – 2 = 0, x = 2
2x – 4 = 0, x = 2
İkisinin de kritik noktası 2

|x – 2| + |2|*|x – 2| = 15
3*|x-2| = 15
|x-2| = 5

x – 2 = 5 ➡️ x = 7
x – 2 = -5 ➡️ x = -3

Kökler toplamı = 2 * (-2) = -4
ya da
Kökler toplamı = 7 + (-4) = -4

Cevap:
Kritik nokta: -2
Kökler toplamı: -4

❗ Birden fazla mutlak değeri olan denklemlerde çıkarma veya toplama işlemi yaparken denklemin köklerini bulduktan sonra eşitliğin içine yazıp sağladığı kontrol edilmelidir.

Mutlak Değerli Eşitsizlikler

Mutlak değerli eşitsizlikler, bir veya birden fazla mutlak değer içeren eşitsizliklerdir.

[math]\text{x, a, b}\in \text{R}[/math] olmak üzere:

|x| ≤ a eşitsizliğinde a > 0 ise −a ≤ |x| ≤ a olur.

Örnek Soru:
|x + 3| ≤ 6 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulun.

Çözüm:
-6 ≤ x + 3 ≤ 6
-9 ≤ x ≤ 3

Cevap:
Ç = [−9, 3]

|x| ≤ 0 ise, x = 0 olur.

Örnek Soru:
|2x + 14| ≤ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulun.

Çözüm:
2x + 14 = 0
x = -7

Cevap:
Ç = {-7}

|x| ≤ a eşitsizliğinde, eğer a < 0 ise, eşitsizliğin çözüm kümesi boş küme olur.

Örnek Soru:
[math]\left| 3x + 7 \right| \lt -9[/math] eşitsizliğinin çözüm kümesini bulun.

Çözüm:
Mutlak değerli bir ifade dışarıya negatif çıkamayacağı için çözüm kümesi boş kümedir.

Cevap:
Ç = ∅

|x| ≥ a eşitsizliğinde, eğer a ≥ 0 ise, x ≥ a ve x ≤ −a olur.

Örnek Soru:
|x − 2| ≥ 3 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulun.

Çözüm:
x − 2 ≥ 3 ➡️ x ≥ 5
x − 2 ≤ −3 ➡️ x ≤ −1

Cevap:
Ç = (−∞, −1] ∪ [5, ∞)

|x| ≥ 0 ise çözüm kümesi tüm gerçek sayılar olur.

Örnek Soru:
|−3x + 21| ≥ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?

Cevap:
Ç = R

|x| > 0 ise çözüm kümesi Ç = R − {0} olur.

Örnek Soru:
|−3x + 6| > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulun.

Çözüm:
-3x + 6 = 0 ➡️ x = 2

Cevap:
Ç = R − {2}

a ≤ |x| ≤ b eşitsizliğinde a > 0 ve b > 0 ise a ≤ x ≤ b veya −b ≤ x ≤ −a olur.

Örnek Soru:
[math]4 \lt \left| x + 2 \right| \le 10[/math] eşitsizliğinin çözüm kümesini bulun.

Çözüm:
[math]4\lt \left| x + 2 \right| \le 10[/math] ➡️ [math]2 \lt x\le 8[/math] bulunur.
[math]-10\le x+ 2 \lt -4[/math] ➡️ [math]-12\le x\lt -6[/math] bulunur.

Cevap:
Ç = [−12, −6) ∪ (2, 8]

Bir yanıt yazın

E-posta adresiniz yayınlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu