Matematik

Faktöriyel

Faktöriyel konseptinin temellerini şu şekilde gösterebiliriz:

  • Faktöriyel Tanımı ➡️ 1’den n’ye kadar olan ardışık tam sayıların çarpımı, n! ile gösterilir.
  • Temel Değerler:
    • 0! = 1
    • 1! =1
  • Örnekler:
    • 2! = 1*2 = 2
    • 4! = 1*2*3*4 = 24
    • 5! = 4! * 5 =120
    • 6! = 5! * 6 =720
    • n! = n (n-1) (n-2)!
  • Özellikler:
    • Yalnızca 0! ve 1! sayıları tek sayıdır.
    • 5! ve sonrasının birler basamağındaki rakam sıfırdır (0).

Faktöriyel Bir İfadenin Sonundaki Sıfır Sayısı

Bir faktöriyel ifadenin sonundaki sıfır sayısını bulmak, aslında o sayı içinde kaç tane 10 çarpanı olduğunu bulmakla ilgilidir. 10 bir çarpan olarak 2×5 şeklinde ifade edilmektedir. Faktöriyel bir sayıda 2’lerin sayısı 5 5’lerden her zaman fazla olduğu için, sonunda kaç sıfır olduğunu belirleyen 5 çarpanlarının sayısıdır.

Benzer şekilde, bir faktöriyel sayının (n!) sonundaki sıfır sayısı, o sayıdan 1 çıkartıldığında (n!−1) elde edilen sayının sonundaki dokuzların sayısını da belirler. Yani n! sonunda ne kadar sıfır varsa, n!−1 sonunda da o kadar 9 bulunur. Dolayısıyla bu tür sorularda 0 sayısını bulmak cevap için yeterli olacaktır. Örneğin 5! sayısında, 1 adet 0 bulunmaktadır. Benzer şekilde 5! – 1 işleminde de 1 adet 9 bulunmaktadır.

❗ Çarpım durumundaki a!*b! ifadesinin sonunda bulunan sıfır sayısı, a! ifadesinin sonundaki sıfır sayısı ile b! ifadesinin sonundaki sıfır sayısının “toplamına” eşittir. Örneğin, a=10 ve b=5 için:

  • 10! sonundaki sıfır sayısı: 2
  • 5! sonundaki sıfır sayısı: 1
  • 10! * 5! sonundaki sıfır sayısı: 2 + 1 = 3 olacaktır.

❗ Bölme durumundaki [math]\frac{a!}{b!}[/math] ifadesinin sonunda bulunan sıfır sayısı, a! ifadesinin sonundaki sıfır sayısı ile b! ifadesinin sonundaki sıfır sayısının “farkına” eşittir. Örneğin, a=10 ve b=5 için:

  • 10! sonundaki sıfır sayısı: 2
  • 5! sonundaki sıfır sayısı: 1
  • [math]\frac{10!}{5!}[/math] sonundaki sıfır sayısı: 2 – 1 = 1 olacaktır.

❗ Toplama veya çıkarma durumunda, yani a! ± b! toplamı veya farkının sonundaki 0 adedi bulunurken, aralarında ardışık bir ilişki var mı ona bakılır.

  • Ardışık olmayan a ve b için: Eğer a ve b ardışık değilse, yani aralarında başka sayılar varsa, sonundaki sıfır sayısı, a ve b arasındaki küçük faktöriyelin sonundaki sıfır sayısı kadardır. Örneğin, a=58 ve b=32 için:
    • 58! sonundaki sıfır sayısı: 13
    • 32! sonundaki sıfır sayısı: 7
    • 58! + 32! sonundaki sıfır sayısı: 7 olacaktır.
  • Ardışık olan a ve b için: Eğer a ve b ardışık ise, küçük faktöriyel parantezine alınır. Faktöriyel işareti olmayan sayı ise çarpanlarına ayrılır ve içinde 5 çarpanı var mı yok mu ona bakılır. Diyelim ki var, o zaman kaç tane 5 çarpanı varsa o kadar 0 faktöriyelli olanda bulduğumuz sıfır sayısına eklenir. Örneğin, a=73 ve b=74 için:
    • 73! + 74*73! ➡️ 73(1 + 74) ➡️ 73! * 75
    • 73! sonundaki sıfır sayısı: 16
    • 75 içindeki 5 çarpanın sayısı: 2
    • 73! + 74! sonundaki sıfır sayısı: 16 + 2 = 18 olacaktır.

(a!)n sayısının sonundaki sıfır sayısı, a! sayısının sonundaki sıfır sayısının “n” katı kadardır. Örneğin, a=5 ve n=2 için:

  • 5! sonundaki sıfır sayısı: 1
  • 5!2 sonundaki sıfır sayısı: 2 * 1 = 2 olacaktır.

Bir yanıt yazın

E-posta adresiniz yayınlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu