Matematik

Çarpanlara Ayırma

Çarpanlara ayırma, cebirsel ifadeleri daha basit parçalara bölme işlemi olup, denklemleri çözme, ifadeleri sadeleştirme ve matematiksel problemleri daha anlaşılır hale getirme gibi birçok alanda temel bir yöntemdir.

Ortak Çarpan Bulma ve Ortak Paranteze Alma

Ortak çarpan bulma ve ortak paranteze alma işlemi, matematiksel ifadeleri sadeleştirmek ve çözümlemek için sıklıkla kullanılan bir yöntemdir. Bu yöntem, toplama veya çıkarma işlemi içeren terimlerde ortak olan çarpanların parantez dışına alınması prensibine dayanır. Bu işlem, ifadeleri daha düzenli hale getirir ve bazen çözümlemeyi kolaylaştırır.

Örneğin, A*B ± A*C ifadesinde, “A” her iki terimde de ortak bir çarpan olarak bulunur. Bu durumda, “A” çarpanını parantez dışına alabiliriz: [math]AB ± AC = A(B±C)[/math]

Örneğin, 15ab + 5a + 12b + 4 ifadesinin çarpanlarını bulalım.

  1. Ortak çarpanları tespit edelim
    • 15ab ile 5a ifadelerinde 5a ortak çarpan olarak göze çarpmaktadır. Düzenlersek:
    • [math]5a(3b + 1)[/math]
    • 12b + 4 ifadelerinde 4 ortak çarpan olarak göze çarpmaktadır. Düzenlersek:
    • [math]4(3b + 1)[/math]
    • Elde ettiğimiz denklemi yazalım: [math]5a(3b + 1) + 4(3b + 1)[/math]. Fark edileceği üzere [math](3b + 1)[/math] ifadesi de ortak çarpan olduğu görülmektedir. Son düzenlememizi de yapalım:
    • [math](3b + 1)(5a + 4)[/math]
  2. Cevap:
    • [math](3b + 1)(5a + 4)[/math]

İki Kare Farkı ve Toplamı

İki kare fark formülü, çok sık kullanılan ve iki karesi alınmış sayının veya ifadenin farkının nasıl çarpanlarına ayrılabileceğini gösteren bir yöntemdir. Bu formül, [math]A^{2} – B^{2}[/math] şeklindeki bir ifadeyi, [math](A-B)(A+B)[/math] şeklinde çarpanlarına ayırmanızı sağlar.

Örnek olarak, [math]\frac{(2,43^{2}) – (0,57^{2})}{0.62}[/math] ifadesini çözelim.

  1. Tam kare fark formatında yazalım
    • [math]\frac{(2,43-0,57)*(2,43 + 0,57)}{0,62}[/math]
    • [math]\frac{18,6*3}{0,62}[/math]
    • [math]9[/math]
  2. Cevap:
    • [math]9[/math]

❗ İki kare toplamı ise [math]A^{2} + B^{2} = (A-B)^{2} + 2AB[/math] şeklinde yazılabilir.

İki Tam Kare Farkı Ve Toplamı

“İki ifadenin toplamının karesi” formülü, birinci ifadenin karesi artı ikinci ifadenin karesi ve birinci ifade ile ikinci ifadenin iki ile çarpımının toplamı şeklindedir.

Benzer şekilde, “iki ifadenin farkının karesi” formülü, birinci ifadenin karesi artı ikinci ifadenin karesi ve birinci ifade ile ikinci ifadenin iki ile çarpımının farkı şeklindedir.

  • [math](A+B)^{2} = A^{2} + 2AB + B^{2}[/math]
    • Dikkat ediniz ➡️ [math](A+B)^{2} – 4AB = (A-B)^{2}[/math]
  • [math](A-B)^{2} = A^{2} – 2AB + B^{2}[/math]
    • Dikkat ediniz ➡️ [math](A-B)^{2} + 4AB = (A+B)^{2}[/math]
Örnek olarak, [math]2a+\frac{1}{a}=4[/math] olduğuna göre, [math]2a^{2}+\frac{1}{a^{2}}[/math] ifadesini çözelim.

  1. Eşitliğimizin karesini alalım:
    • [math](2a+\frac{1}{a})^{2}=4^{2}[/math]
    • [math]4a^{2} + 4a(\frac{1}{a}) + (\frac{1}{a^{2}}) = 16[/math]
    • Her iki tarafı da 2’ye bölelim ➡️ [math]4a^{2} + (\frac{1}{a^{2}}) = 12[/math]
    • [math]2a^{2}+\frac{1}{a^{2}} = 6[/math]
  2. Cevap:
    • [math]6[/math]

❗ [math](A±B)^{2}[/math] şeklinde verilmiş bir ifade aynı zamanda [math](A±B)*(A±B)[/math] şeklinde de yazılabilir. Soru çözümlerinde buna dikkat edebilirsiniz.

❗ Herhangi bir tam kare ifadenin en küçük değeri sıfırdır.

x2 + Tx + Ç İfadesini Çarpanlarına Ayırma

x2 + Tx + Ç ifadesini çarpanlarına aşağıdaki şekilde ayırırız.

  • [math](x + a)(x + b) = x^{2} + (a + b)x + ab[/math]

Burada T ile a ile b’nin toplamını, Ç ile ise a ile b’nin çarpımı anlatılır.

İki Küp Farkı Ve Toplamı

“İki küp farkı” ve “iki küp toplamı” kuralı, cebirde önemli yer tutan ve polinom ifadeleri sadeleştirmek için kullanılan iki temel kuraldır. Bakınız:

  • [math]A^{3} – B ^{3} = (A-B)(A^{2} + AB + B^{2})[/math]
  • [math]A^{3} + B ^{3} = (A+B)(A^{2} – AB + B^{2})[/math]
Örnek olarak, [math]\frac{a^{3} + 27}{a^{2}-3a+9} – \frac{a^{2} – 9}{a+3}[/math] ifadesini çözelim.

  1. [math]a^{3} + 27[/math] ifadesini İki küp toplamı şeklinde yazalım:
    • [math](a+3)^{3}[/math] Sonra bu ifadeyi çarpanlarına ayıralım ➡️ [math](a+3)(a^{2}-3a+9)[/math]
    • [math]a^{2} – 9[/math] ifadesini çarpanlarına ayıralım ➡️ [math](a-3)(a+3)[/math]
  2. Denklemleri sadeleştirelim:
    • [math]a + 3 – a + 3 = 6[/math]
  3. Cevap:
    • [math]6[/math]

Şu şekilde de yazabiliriz:

  • [math]A^{3} – B ^{3} = (A-B)^{3} + 3(AB) (A-B)[/math]
  • [math]A^{3} + B ^{3} = (A+B)^{3} – 3(AB) (A+B)[/math]

(x ± y)n Şeklindeki İfadelerin Açılımı

n bir tam sayı olmak üzere genel olarak n = 3 yaygın bir kullanıma sahiptir.

  • [math](A+B)^{3} = A^{3} + 3A^{2}B + 3AB^{2} + B^{3}[/math]
  • [math](A-B)^{3} = A^{3} – 3A^{2}B + 3AB^{2} – B^{3}[/math]

xn ± yn Şeklindeki İfadelerin Açılımı

n pozitif bir tam sayı olmak üzere:

  • [math]A^{n} – B^{n} = (A-B)A^{n-1}+A^{n-2}B + A^{n-3}B^{2} + …+ B^{n-1}[/math]

n pozitif bir tek tam sayı olmak üzere:

  • [math]A^{n} + B^{n} = (A+B)A^{n-1}-A^{n-2}B + A^{n-3}B^{2} – …+ B^{n-1}[/math]
Örnek olarak, [math]7^{6}-7^{5}+7^{4}-7^{3}+7^{2}-6 = A[/math] olduğuna göre, [math]7^{7}[/math] ifadesinin A türünden eşitini bulalım.

  1. [math]7^{7} + 1^{7}[/math] ifadesini yazalım:
    • [math](7+1) 7^{6}-7^{5}+7^{4}-7^{3}+7^{2}-7+1[/math] olur.
  2. Denklemleri sadeleştirelim:
    • [math]7^{7} + 1^{7} = 8A[/math]
    • [math]7^{7} = 8A-1[/math]
  3. Cevap:
    • [math]8A-1[/math]

Bir yanıt yazın

E-posta adresiniz yayınlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu