Matematik

Bölme İşlemi ve Bölünebilme Kuralları


Bölme işlemi ve bölünebilme kuralları, matematikte sayıların nasıl bölündüğünü ve hangi sayılarla tam bölünebileceğini anlamamızı sağlar. Bu konu anlatımıyla, bölme işleminin temellerini ve sayıların bölünebilme özelliklerini kapsamlı bir şekilde ele alacağız.

Bölme işlemi, bir sayının başka bir sayıya ne şekilde bölünebileceğini anlatan matematiksel bir süreçtir. Bu süreçte dört temel kavram ön plana çıkar. Yukarıdaki bölme işlemine göre:

  1. A = B·C + K ➡️ Burada “A”, bölüneni; “B”, böleni; “C”, bölümü; ve “K” ise kalanı temsil eder.
  2. 0 ≤ K < B ➡️ Kalanın, bölen “B”den küçük veya ona eşit olduğunu ve sıfırdan küçük olamaz.
  3. K = 0 ise A sayısı, B sayısına tam bölünür: Eğer kalan “K” sıfır ise, bu durumda “A” sayısının “B” sayısına tam bölündüğü anlamına gelir. Yani “A”, “B” ile çarpılan “C” sayısına eşittir.
  4. K < C ise, B ile C yer değiştirebilir: Eğer kalan “K”, bölüm “C”den küçükse, bölen “B” ile yer değiştirebilir.

Bölme işleminde bölünen ile kalan arasındaki ilişkiyi anlamak için kullanılabilecek bazı pratik bilgiler bulunmaktadır. Bunları kullandığımız anda soruları çözmek kolaylaşacaktır. Bakınız:

  • Eğer “A” sayısını “x” ile böldüğünüzde kalan “K1”, “B” sayısını “x” ile böldüğünüzde kalan “K2” ise, “A + B” toplamını “x” ile böldüğünüzde elde edilen kalan, “K1 + K2” toplamının “x” ile bölümünden elde edilen kalana eşittir.
  • “A – B” farkını “x” ile böldüğünüzde elde edilen kalan, “K1 – K2” farkının “x” ile bölümünden elde edilen kalana eşittir.
  • “A2 + A·B” ifadesini “x” ile böldüğünüzde elde edilen kalan, “K12 + K1·K2″ ifadesinin “x” ile bölümünden elde edilen kalana eşittir.

Özetle, bir bölme işleminde “Kalan kaçtır?” sorusuna cevap ararken, bölünenin yerine kalanı kullanarak işlem yapmak, kalanı bulmanın pratik bir yolunu sunar. Bu yöntem, özellikle büyük sayılarla çalışırken işlemleri basitleştirir ve hızlandırır. Bunu yapma nedenimiz, bölüm yerine 0 yazıp bölünenin bölene her halükarda bölünebilecek temsili bir sayıyı bulmaktır. Böylece işlem yükü büyük ölçüde azalacaktır.

Örnek:

a sayısının 11 ile bölümünden kalan 9, b sayısının 11 ile bölümünden kalan 7’dir. Buna göre, a * b çarpımının 11 ile bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm:

  • Bölümleri 0 olarak kabul ederiz. Böylece a = 9, b = 7 sonucunu buluruz.
  • a * b / 11 işlemini istiyor. a * b = 63 olur.
  • 63 / 11 = 8

Cevap, 8 olacaktır.

Temel Bölünebilme Kuralları

Bölünebilme kuralları, sayıların belirli sayılara bölünüp bölünemeyeceğini kolayca anlamamıza yardımcı olur.

  • 2 ile Bölünebilme: Bir sayının birler basamağı çift bir sayıysa, yani 0, 2, 4, 6, 8 ise bu sayı 2’ye tam bölünebilir. Eğer birler basamağı tek bir sayıysa, sayının 2’ye bölümünden kalan 1’dir.
  • 3 ile Bölünebilme: Bir sayının rakamlarının toplamı 3’ün katıysa, o sayı 3’e tam bölünebilir. Sayının 3’e bölümünden kalan, rakamlarının toplamının 3’e bölümünden elde edilen kalana eşittir.
  • 4 ile Bölünebilme: Bir sayının son iki rakamı 00 veya 4’ün katıysa, o sayı 4’e tam bölünebilir. “abcd” formatındaki bir sayının 4 ile bölümünden kalan, son iki basamağı “cd”nin 4 ile bölümünden elde edilen kalana eşittir.
  • 5 ile Bölünebilme: Bir sayının birler basamağında 0 ya da 5 bulunuyorsa, o sayı 5’e tam bölünür. Sayının 5’e bölümünden kalan, birler basamağındaki rakamın 5 ile bölümünden kalana eşittir.
  • 8 ile Bölünebilme: Bir sayının son üç rakamı 000 veya 8’in katıysa, bu sayı 8’e tam bölünebilir. “(…abc)” formatındaki bir sayının 8 ile bölümünden kalan, “abc”nin 8 ile bölümünden elde edilen kalana eşittir.
  • 9 ile Bölünebilme: Bir sayının rakamlarının toplamı 9’un katıysa, o sayı 9’a tam bölünebilir. Sayının 9 ile bölümünden kalan, rakamlarının toplamının 9 ile bölümünden elde edilen kalana eşittir.
  • 10 ile Bölünebilme: Bir sayının birler basamağı sıfırsa, o sayı 10’a tam bölünebilir. Sayının 10 ile bölümünden kalan, birler basamağındaki rakamdır.
  • 11 ile Bölünebilme: Verilen bir “abcd” sayısında, birler basamağından başlayarak birinci, üçüncü, beşinci, … basamağındaki rakamların toplamı ile diğer basamaklardaki rakamların toplamı arasındaki fark, eğer sıfır veya 11’in katıysa sayı 11 ile tam bölünebilir. Bir başka deyişle, “a4b3c2d1” gibi bir doğal sayısının 11 ile bölümünden kalan, tek basamaklarda bulunan rakamların toplamı, çift basamaklarda bulunan rakamların farkının 11’e bölümüne, yani “(b + d) – (a + c)” ifadesinin 11 ile bölümünden kalana eşittir.

Eğer a ve b “aralarında asal sayılar” ise ve bir sayı hem a’ya hem de b’ye tam bölünebiliyorsa, bu sayı a ve b’nin çarpımına da tam bölünebilir. Bu, temel bölünebilme kurallarının önemli bir prensibidir ve matematikte sıkça karşılaşılan bir durumdur. İşte bazı örnekler:

  • Bir sayı hem 3’e hem de 5’e tam bölünüyorsa, bu sayı 15’e de tam bölünür çünkü 15, 3 ve 5’in çarpımıdır.
  • Eğer bir sayı hem 5’e hem de 9’a tam bölünüyorsa, o sayı 45’e tam bölünür çünkü 45, 5 ve 9’un çarpımıdır.
  • Bir sayı hem 3’e hem de 10’a tam bölünüyorsa, bu sayı 30’a da tam bölünür çünkü 30, 3 ve 10’un çarpımıdır.
  • Eğer bir sayı hem 2’ye hem de 9’a tam bölünüyorsa, o sayı 18’e tam bölünür çünkü 18, 2 ve 9’un çarpımıdır.
  • Bir sayının 20’ye tam bölünebilmesi için, o sayının hem 4’e hem de 5’e tam bölünmesi gerekir çünkü 20, 4 ve 5’in çarpımıdır.
  • Bir sayının 6’ya tam bölünebilmesi için, o sayının hem 2’ye hem de 3’e tam bölünmesi gereklidir çünkü 6, 2 ve 3’ün çarpımıdır.
  • Bir sayının 12’ye tam bölünebilmesi için, o sayının hem 3’e hem de 4’e tam bölünmesi gerekir çünkü 12, 3 ve 4’ün çarpımıdır.

❗ İki farklı sayıya bölme işlemi bakılırken, eğer içlerinde 3 ve 9’a bölünebilme varsa bular en sona bırakılmalıdır.

Bir yanıt yazın

E-posta adresiniz yayınlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu