Matematik

Basamak Analizi (Çözümleme)

Doğal sayılarda, her bir rakamın yer aldığı konuma “basamak” denir. Rakamın basamakta alığı konuma göre değeri ise “basamak değeri” olarak adlandırılır. Aynı zamanda, rakamların kendi gösterdiği miktar ise “sayı değeri” olarak tanımlanır. Sayıların isimlendirilmesi de sahip oldukları basamak sayısına göre yapılır; örneğin “tek basamaklı”, “iki basamaklı” veya “üç basamaklı” sayılar gibi. Her bir basamak, sayının genel değeri içindeki yerini ve katkısını ifade eder.

Basamaklar onluk sayı sisteminde 10’un kuvvetlerine göre isimlendirilir ve her bir basamak bir öncekinin 10 katı değerindedir. Örnek olarak 5427 sayısını ele alalım:

BasamaklarBasamak DeğeriSayı Değeri
Birler Basamağı (100)7 x 100 = 7 x 1 = 77
Onlar Basamağı (101)2 x 101 = 2 x 10 = 2020
Yüzler Basamağı (102)4 x 102 = 4 x 100 = 400400
Binler Basamağı (103)5 x 103 = 5 x 1000 = 50005000
Basamak Analizi (Çözümleme)

Sayının tamamını oluştururken, her basamaktaki sayı değerleri toplanır. Örneğimizdeki her bir basamağı topladığımızda (2000 + 300 + 60 + 5 = 2365) 2365 ettiği görülecektir.

Çözümleme

Sayı çözümlemesi, bir sayının basamak değerlerinin toplamı olarak ifade edilmesi sürecidir. Bu yöntemle, sayılar basamaklarının 10’un kuvvetleriyle çarpımı olarak ayrıştırılır. Örneğin:

  • İki basamaklı bir “ab” sayısı, “10a + b” şeklinde çözümlenir.
  • Üç basamaklı bir “abc” sayısı, “100a + 10b + c” şeklinde çözümlenir.
  • Dört basamaklı bir “abcd” sayısı, “1000a + 100b + 10c + d” şeklinde çözümlenir.

Toplama işleminde genel çözümleme aşağıdaki pratik kurallar uygulanır.

  • İki basamaklı iki sayıyı ters çevirip topladığınızda, sonuç onların toplamının 11 katıdır. Yani, eğer AB ve BA şeklinde iki sayınız varsa, bunların toplamı (A + B) çiftinin 11 katına eşittir.
    • AB + BA = 11(A + B)
  • Aynı rakamlardan oluşan iki basamaklı sayıların toplamı da, bu rakamların toplamının 11 katıdır. Örneğin, AA ve BB toplandığında, sonuç (A + B) toplamının 11 katıdır.
    • AA + BB = 11(A + B)
  • Üç farklı iki basamaklı sayının toplamı, eğer bu sayılar AB, BC ve CA şeklinde ise, yine (A + B + C) toplamının 11 katıdır.
    • AB + BC + CA = 11(A + B + C)
  • Üç basamaklı ABC sayısını farklı sıralamalarla toplarsanız, yani ABC, BCA ve CAB şeklinde, elde edeceğiniz toplam (A + B + C) toplamının 111 katına eşit olacaktır.
    • ABC + BCA + CAB = 111(A + B + C)

❗ Rakamları toplamı en fazla 9 olan iki basamaklı sayıların 11 ile çarpımı sırasında kullanılabilecek bir pratik yöntem vardır. Eğer bir iki basamaklı sayı [math]AB[/math] varsa ve [math]A+B\le 9[/math] koşulunu sağlıyorsa, bu sayının 11 ile çarpımı, [math]A[/math] ve [math]B[/math] rakamlarının arasına [math]A+B[/math] toplamının yazılmasıyla kolayca bulunabilir. Örneğin:

  • 23×11 işleminde, 2+3=5 olduğundan, sonuç 253 olarak yazılabilir.
  • 45×11 işleminde, 4+5=9 olduğundan, sonuç 495 olarak yazılabilir.
  • İki basamaklı iki sayıyı ters çevirip çıkardığımızda, sonuç onların farkının 9 katıdır. Yani, eğer AB ve BA şeklinde iki sayınız varsa, bunların farkı (A – B) çiftinin 9 katına eşittir.
    • AB – BA = 9(A – B)
  • Aynı rakamlardan oluşan iki basamaklı sayıların farkı, bu rakamların farkının 11 katıdır. Örneğin, AA ve BB çıkarıldığında, sonuç (A – B) farkının 11 katıdır.
    • AA – BB = 11 (A – B)
  • Üç basamaklı ABC sayısını farklı sıralamalarla çıkartırsanız, yani ABC, BAC ve CBA şeklinde, elde edeceğiniz fark aşağıdakiler gibi olacaktır:
    • ABC – BAC = 90(A – B)
    • ABC – CBA = 99(A – C)

❗ Sayı yazma soruları ele alınırken, iki önemli noktaya dikkat edilmesi gerekir: İlk olarak, yazılan sayının rakamlarının birbirinden farklı olup olmadığı kontrol edilmelidir. İkincisi, sayının pozitif bir tam sayı mı yoksa negatif bir tam sayı mı olduğu belirlenmelidir.

Örnek:

Üç basamaklı rakamları farklı en büyük doğal sayı ile üç basamaklı en küçük doğal sayının farkı kaçtır?

Çözüm:

  • Üç basamaklı rakamları farklı en büyük doğal sayı: 987
  • Üç basamaklı en küçük doğal sayı: 100
  • 987 – 100 = 887

Cevap, 887 olacaktır.

❗ “En büyüğü en çok, en küçüğü en az” tipi sorularda, bir sayının maksimum değere ulaşabilmesi için diğer sayıların mümkün olan en düşük değerleri alması gerektiği; tersine, bir sayının minimum değere sahip olabilmesi için ise diğer sayıların mümkün olan en yüksek değerleri alması gerektiği dikkate alınmalıdır.

Böylesi sorularda dikkat edilmesi gereken ayrıca noktalar şunlardır:

  • Yazılacak sayının kaç basamaklı olduğuna dikkat edilmelidir.
  • Sayıyı oluşturan rakamların birbirinden farklı olup olmadığı kontrol edilmelidir.
  • Yazılacak olan sayıların kendilerinin de birbirinden farklı olup olmadığı kontrol edilmelidir.
Örnek:

İki basamaklı dört pozitif tam sayının toplamı 105 olduğuna göre, bu sayıların en büyüğü en çok kaçtır?

Çözüm:

  • En büyük sayımız x olsun.
  • x’in en büyük olması için diğer iki basamaklı sayıları en küçük olan 10 seçelim.
  • 10 + 10 + 10 + x = 105
  • x = 75

Cevap, 75 olacaktır.

❗ “En büyüğü en az, en küçüğü en çok” tipindeki sorularda, amaç; sayıların birbirine olabildiğince yakın olması gerektiğidir. Böylece, en büyük sayının değeri mümkün olan en düşük, en küçük sayının değeri ise mümkün olan en yüksek seviyeye ulaştırılır.

Örnek:

Üç basamaklı dört farklı doğal sayının toplamı 505 olduğuna göre bu sayıların en küçüğü en fazla kaçtır?

Çözüm:

  • 504/4 = 126
  • 4 farklı doğal sayı dediği 126’ya yakın olacak şekilde uygun sayılar yerleştirilecek.
  • 124, 125, 127, 128
  • En küçüğü en çok 124 olur.

Cevap, 124 olacaktır.

❗ Bazı matematik sorularında, sayıları çözümlemek için genel yöntemlerin yanı sıra “özel çözümleme” yöntemleri de kullanılabilir. Bu özel yöntemler sayesinde, sonuca daha hızlı ulaşılır. Örneğin soruda:

  • Eğer bir soruda hem üç basamaklı “ABC” sayısı hem de iki basamaklı “BC” sayısı varsa, “ABC” sayısını genel formülü olan “100A + 10B + C” yerine, özel çözümleme biçimi “100A + BC” şeklinde düşünmek daha pratiktir.
  • Benzer şekilde, üç basamaklı “ABC” sayısı ve iki basamaklı “AB” sayısı verildiğinde, “ABC” sayısını “100A + 10B + C” formülü yerine “10AB + C” özel çözümleme biçimi olarak ifade etmek işinizi kolaylaştırır.
  • “ABCD” dört basamaklı bir sayı için, “10ABC + D” veya “100AB + CD” gibi ifadeler, sayının daha basit bir şekilde çözümlenmesine olanak tanır.
Örnek:

Üç basamaklı 7AB sayısı, iki basamaklı AB sayısının 29 katıdır. Buna göre, A + B toplamı kaçtır?

Çözüm:

  • 7AB = 29AB
  • 700 + AB = 29AB
  • 700 = 28AB
  • AB = 25
  • A + B = 2 + 5 = 7

Cevap, 7 olacaktır.

❗ Bir sayının belirli bir basamağındaki rakam değiştirildiğinde, sayının toplam değerindeki değişim, o basamağın değeri ile değişim miktarının çarpımına eşittir. Bu prensip sayesinde, sayıların nasıl değişeceğini kolayca hesaplayabiliriz:

  • Eğer bir sayının yüzler basamağı 2 artırılırsa, bu sayının değeri 200 kadar artar. Çünkü yüzler basamağının değeri 100’dür ve bu değerle 2’nin çarpımı 200 eder.
  • Benzer şekilde, bir sayının onlar basamağı 3 azaltıldığında, sayının değeri 30 azalır. Çünkü onlar basamağının değeri 10’dur ve bu değerle 3’ün çarpımı 30 eder.
Örnek:

Dört basamaklı bir sayının binler ve birler basamağı 2 artırılıp, yüzler basamağı 3, onlar basamağı 5 azaltılırsa, değeri kaç artar?

Çözüm:

  • ABCD + (2000 + 2 – 300 – 50) – ABCD
  • 1748

Cevap, 1748 olacaktır.

Bir yanıt yazın

E-posta adresiniz yayınlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu