Matematik

Asal Çarpanlara Ayırma

Asal çarpanlara ayırma işlemi, asal olmayan sayıların, asal sayıların çarpımı şeklinde ifade edilmesi sürecidir. Bu süreç, temel matematikte çok önemli bir yer tutar ve sayıların altında yatan asal yapıyı ortaya çıkarır.

Çarpanlara ayırma işlemini, “çarpan ağacı” ya da “bölen listesi” şeklinde iki farklı yöntemle yapabiliriz. Örneğin, 180 sayısının asal çarpanlarına nasıl ayrılacağına bakalım:

Asal Çarpanlara Ayırma 182
Asal Çarpanlara Ayırma

Bu işlemi yaparken, en küçük asal sayı olan 2’den başlayıp, sayı 1 oluncaya kadar asal sayılarla bölme işlemini sürdürürüz.

  • İlk olarak, 180 sayısını 2 ile böleriz. Sağ tarafta 2’yi not ederiz. Bölme işlemi sonucunda 90 elde edilir ve 180’in altına 90 yazılır.
  • Sonra, 90 sayısını yine 2 ile böleriz. Sağ tarafta bir kez daha 2’yi not ederiz. Bu işlem sonucunda 45 çıkar ve 90’ın altına 45 yazılır.
  • Daha sonra, 45 sayısını 3 ile böleriz. Sağ tarafta 3’ü not ederiz. Bölme işlemi sonucunda 15 elde edilir ve 45’in altına 15 yazılır.
  • 15 sayısını 3 ile böldüğümüzde, sonuç olarak 5 çıkar. Bu sefer sağ tarafta 3’ü not eder ve 15’in altına 5 yazılır.
  • Son olarak, 5 sayısını 5 ile böleriz. Sağ tarafta 5’i not ederiz. Bölme işlemi sonucunda 1 çıkar ve 5’in altına 1 yazılır.

Yaptığımız işlemi kısaca toparlarsak:

  • 180‘in asal çarpanları 23 ve 5‘tir.
  • 180 sayısı asal çarpanlarına aşağıdaki gibi ayrılır:
    • Açık Gösterim: 180 = 2 * 2 * 3 * 3 * 5
    • Üslü Gösterim: 180 = 22 * 32 * 51

Bir K sayının asal çarpanlara ayrılması, o sayının yalnızca asal sayıların çarpımı şeklinde yazılabilmesi anlamına gelir. Eğer bir sayı, “a” ve “b” gibi asal sayıların çarpımı şeklinde, yani “a” asal sayısının “x” kere ve “b” asal sayısının “y” kere çarpılmasıyla elde ediliyorsa, bu sayının iki önemli özelliği vardır:

  • K = ax * by
    • K sayısının, “asal çarpanları” a ve b olmak üzere “2” tanedir.
    • K sayısının (x + 1) * (y + 1) tane “pozitif tam sayı böleni” vardır.
    • K sayısının kaç tane “pozitif tam sayı böleni” varsa o kadar da “negatif tam sayı böleni” vardır.
    • K sayısının toplam tam sayı bölen sayısı, “pozitif tam sayı böleni” sayısının “iki katı” kadardır.
    • K sayısının “asal olmayan pozitif tam sayı böleni” ise “pozitif tam sayı böleni” ile “asal çarpanları sayısının” farkıdır.
Örnek:

432 sayısını kalansız bölen pozitif tam sayılar kümesi

{1, 2, 3, 4, 6, ….., 432}

şeklinde olduğuna göre, bu kümenin eleman sayısı kaçtır?

Çözüm:

  • 432 = 24*33
  • (4 + 1) * (3 + 1)
  • 20

Cevap, 20 olacaktır.

Bir sayının 10 üzeri x ile çarpılması, bu sayının sonuna x kadar sıfır eklenmesi anlamına gelir. Bu durum, sayının sondan x basamağının sıfır olacağını gösterir.

Bir, ABC*10x formülü kullanıldığında, “ABC” üç basamaklı bir sayıdır ve sonuna x kadar sıfır eklenir. Bu işlem sonucunda elde edilen sayı (x + 3) basamaklıdır çünkü “ABC”nin kendisi zaten üç basamaklıdır ve sonuna eklenen x kadar sıfır, toplam basamak sayısını (x + 3) yapar.

Örneğin, 24 * 108 işlemi, 24 sayısının sonuna 8 tane sıfır ekler ve bu sayıyı 8 + 2 = 10 eşitliğinden 10 basamaklı yapar.

❗ Sayının sonunda kaç tane sıfır vardır sorusunda asal çarpanlardan 5’in miktarına bakılır. Ne kadar 5 çarpanı varsa sayıda o kadar 0 vardır.

Bir yanıt yazın

E-posta adresiniz yayınlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu